第6章 这暑假作业是人做的吗？（1/2）

苏言看完通关条件后，在厨房探索一番无果后，回了房间。

房间里的时钟已经是15:00了，苏言知道该做暑假作业了，他并不明白，既然布置了暑假作业，又为什么要说暑假快乐？

他翻开暑假作业，上面的题目看的他眼花缭乱，只能一边看题目一边写了，第一页：

1、如图，已知抛物线y= -（1/2）x2+（5-√m2）+m-3与x 轴有两个交点A 、B ，点A 在x 轴的正半轴上，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB 。

（1）求m 的值；

（2）求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴和顶点C 的坐标；

（3）在抛物线上是否存在一点M ，是△MAC ≌△OAC ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。

解：（1）从图可以看出，抛物线的顶点在y 轴的正半轴上，

所以：（5-√m2）+m-3＞0

当m≥0时，（5-√m2）+m-3=2＞0

当m＜0时，（5-√m2）+m-3=2+2m＞0，即-1＜m＜0

所以：综上得m 的值为m＞-1

(2)、y=-(1/2)x2+2 （m≥0时）对称轴是x=0，顶点C(0,2）

y=-(1/2)x2+2+2m (-1＜m＜0时） 对称轴是x=0，顶点C(0,2+2m).

(3)、不存在。

对于y=-(1/2)x2+2来说，不存在M 点，因为△OAC 是等腰直角△，角O 是直角，若在抛物线上找M 点，使∠AMC=90°，是不存在的，因为以AC 为直径的元与抛物线只有A,C 两个交点。

对于y=-(1/2)x2+2+2m 来说，A 点坐标是（2√(1+m),0) C 点坐标（0,2+2m) 也就是说OA 的长为2√(1+m),OC 的长为2(1+m)

对于√(1+m)=(1+m)^(1/2)和1+m 来说，由于1+m＞0,1/2＜1,

所以：√(1+m)＞1+m (由指数函数的性质而得）

即OA＞OC

所以：以AC 为直径的元与抛物线只有A,C 两个交点。

2、已知二次函数f(x)=—1/2x平方+x，问是否存在实数www.n(m＜n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m,n]和[2m,2n]，如存在求出m,n的值，如不存在说明理由。

解：存在。

因为：满足2x=-(1/2)x2+x的x只有两个点，即（0,0）和（-2，-4）

所以：当x∈[-2,0]时，y∈[-4,0]

也就是m=-2,n=0.

3、二次函数y=x2+px+q中，若p+q=0，则它的图像必经过下列四点A(1,1) B(-1,1）C(1,-1) D(-1,-1) 中的那个点？

分别将A(1,1) B(-1,1）C(1,-1) D(-1,-1)代入y=x2+px+q中得：

1=1+（p+q) 成立，图像经过A（1,1）；

1=-1+（p+q) 不成立，图像不经过B（-1,1）；

-1=1+（p+q)不成立，图像不经过C（1,-1）；

-1=1-P+Q不成立，图像不经过D（-1,-1）.

所以：经过A点。

4、如图，一次函数y=1/2x—2的图像分别交x轴、y轴于A、B，P为AB上一点且PC为△AOB的中位线，PC的延长线交反比例函数y=k/x（k＞0）的图像与Q，S△OQC=3/2，求k的值和Q点的坐标。

解：根据解析式y=(1/2)x-2求得A,B两点的坐标分别为（4,0）和（0，-2）。

所以：C点坐标为（2,0），且PC⊥OB,

所以：S△OQC=(1/2)*2*QC=3/2

所以：QC=3/2，即Q点坐标为（2,3/2）

将Q点坐标代入y=k/x中得：3/2=k/2，解得k=3,

5、已知抛物线y=ax^2+bx+c与抛物线y=4分之1x^2形状相同，开口方向相反，且当x=2时，函数有最大值4，求

（1）求抛物线的解析式

（2）当x取何值时，y随x的增大而减少

解：

（1）、因为：抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=(1/4)x2的形状相同，开口方向相反。

所以：a=-1/4,

又因为当x=2时，函数有最大值。

所以：函数的对称轴x=-b/2a=2，即-b/[2*(-1/4)]=2,